Тема: Производная: определение, физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной

1. Введение новых понятий

Рис. 1. График функции  .

Рассмотрим функцию  , ее график и дадим физическую интерпретацию.

Построим систему координат и кривую   (см. рис.1), где

 независимая переменная или аргумент (время),

 – зависимая переменная или функция (расстояние),

 – закон или правило, по которому каждому значению   ставится в соответствие только одно значение  .

Зафиксируем момент времени   (см. рис.2). В этот момент времени можно вычислить по заданному закону   , т.е. имеем точку  . Эта точка показывает, что в данный момент времени  , расстояние -   . Дадим аргументу приращение  , т.е. прошло некоторое время  . Момент времени, который будет рассматриваться  - это   .

Рис. 2. Секущая к графику функции  .

 – приращение аргумента – это разность между новым значением аргумента и старым.

Итак, в новый момент времени, расстояние (от дома) -  . Это расстояние можно вычислить по заданному закону, т.е. если подставить в функцию новое значение независимой переменной (аргумента), то можно вычислить новое значение функции. Так получилась точка  . В результате получилась секущая  , которая наклонена к оси    под углом  .

 – секущая,   – ее угол наклона. Этот угол, во – первых, в верхней полуплоскости и, во – вторых, с положительным направлением оси  .

Рассмотрим треугольник   (см. рис.3). Он прямоугольный. В этом треугольнике острый угол – это угол  -  угол  наклона секущей. Один из катетов - это приращение аргумента, а второй катет – это разность между значением функции в новой точке и значением функции в старой точке.

Рис. 3. Приращение функции и приращение аргумента.

Величина   называется   – приращение функции и вычисляется как разность значений функции в новый момент времени минус значение функции в старый момент времени

.

2. Физический смысл отношения ∆f/∆x

Рассмотрим отношение   , где   – приращение функции,   – приращение аргумента (см. рис.4).

Из физических соображений ясно, что отношение расстояния ко времени – это средняя скорость  . В этом заключается физический смысл отношения   .

Рис. 4. Физический и геометрический смысл отношения    .

С другой стороны отношение катета   к катету   – это тангенс угла   – тангенс угла наклона секущей, т.е. геометрический смысл отношения    – это тангенс угла наклона секущей   .

3. Определение производной

Пусть  . Понятно, что и  . Точка   будет стремиться к точке  , а положение секущей   будет стремиться занять положение касательной в точке   к кривой    (см. рис.4). Имеем

Зафиксируем эту касательную,   – угол наклона этой касательной. Если зафиксировать точку  , то отношение    зависит только от величины  .

Если отношение     при   стремится к какому-то числу, то это число называется производной функции   в точке   и обозначается  .

Определение. Производной функции   в точке   называется число, к которому стремится разностное соотношение     при  .

Определение производной с помощью пределов.

Предел при   разностного отношения   , если он существует, называется производной функции в точке   и обозначается  .

4. Геометрический и физический смысл производной

, где   – мгновенная скорость в момент  . В этом заключается физический смысл производной. Производная – это также тангенс угла наклона касательной  , где   - угол наклона касательной к кривой   в точке с абсциссой  .

5. Алгоритм нахождения производной

Для того чтобы найти   нужно:

1) Задать приращение   – это приращение аргумента и вычислить соответствующее приращение функции   или  .

2) Найти разностное соотношение   , упростить его и сократить на   .

3) Если отношение    при   стремится к какому-то числу, то это число будет  .

6. Итог урока

Итак, на уроке было рассмотрено понятие производной. Для этого ввели два новых понятия: приращение аргумента и приращение функции. Также были рассмотрены события, когда приращение аргумента и приращение функции конкретные числа, тогда соотношение    имеет смысл физический – это средняя скорость за время   и геометрический смысл – это тангенс угла наклона секущей. Далее было рассмотрено, какие процессы происходят, когда  . Если  , тогда и   , и секущая стремится занять положение касательной. Если разностное отношение     при   стремится к некоторому числу, то это число называется производной функции   в точке  . Физический смысл производной в момент   – это мгновенная скорость в момент  , а геометрический  – это тангенс угла наклона касательной, которая проведена к кривой в точке с абсциссой  . Рассмотрен алгоритм нахождения производной: нужно дать приращение аргументу и получить новую точку  . Получили значение функции в новой точке и нашли приращение функции. Надо разделить    на   и упростить это отношение так, чтобы сократился  , и то, что получится при стремлении  к нулю будет называться производной функции в конкретной точке  . Дальнейшее изложение зависит от вида функции, что и будет рассматриваться на следующем уроке.