Задачи на целые числа.

Чернова И.Р., учитель математики МБОУ СОШ №5 с углубленным изучением отдельных предметов, г.Бугульма, РТ

Вы можете с каждым днём становиться

всё умнее и умнее. Ум может

развиваться – его можно, укрепить,

настроить и подготовить так, что он

будет творить чудеса.

Мэрилин вос Сэйвэнт

Мозг человека уникален, такого мозга, как у нас, нет ни у кого. И он требует постоянной, систематической тренировки. Математика предоставляет для этого широкие возможности.

Задачи на целые числа всегда считались одними из наиболее сложных задач. Для их решения необходимо умение логически мыслить, охватывать всю задачу целиком, как говорят шахматисты, «просчитывать на несколько ходов вперед». Математических знаний для решения задач данного типа нередко хватает и пятикласснику, но подводит неготовность разбираться в ситуации. Вот это качество и необходимо развивать в детях.

Начиная с 5 класса я предлагаю своим ученикам задачи нестандартного типа, в частности задачи на целые числа. Пятиклассники справляются с задачами на свойства четных и нечетных чисел.

Пример 1. Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 1990?

Решение: на каждом листе сумма номеров страниц нечетна, а сумма 25 нечетных чисел - нечетна.

Пример 2. Кузнечик прыгает по прямой, причем в первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сторону, во второй раз – на 2 см и так далее. Докажите, что после 1985 прыжков он не может оказаться там, где начинал.

Решение: сумма 1 + 2 + … + 1985 нечетна.

Пример 3. В народной дружине 100 человек и каждый вечер трое из них идут на дежурство. Может ли через некоторое время оказаться так, что каждый с каждым дежурил ровно один раз?

Решение: так как на каждом дежурстве, в котором участвует данный человек, он дежурит с двумя другими, то всех остальных можно разбить на пары. Однако 99 – нечетное число.

Пример 4. Есть 101 монета, из которых 50 фальшивых, отличающихся по весу на 1 грамм от настоящих. Петя взял одну монету и за одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, хочет определить фальшивая ли она. Сможет ли он это сделать?

Решение: нужно отложить данную монету в сторону, а затем разделить остальные 100 монет на две кучки по 50 монет, и сравнить веса этих кучек. Если они отличаются на четное число грамм, то интересующая нас монета настоящая. Если же разность весов нечетна, то монета фальшивая.

В 6 классе можно добавить задачи на делимость, изучив при этом свойства и признаки делимости.

Пример 5. Винни-Пуху подарили 40 конфет. Он съел сколько влезло, а остальными хотел угостить поровну трех гостей. Но тут пришел четвертый гость. Пришлось хозяину съесть еще 3 конфеты, чтобы число оставшихся делилось на 4. Когда пришел пятый гость, пришлось съесть еще 3 конфеты, чтобы число оставшихся делилось на 5. и тут пришёл шестой гость. сколько конфет придётся съесть на этот раз, чтобы оставшиеся поделить поровну на шестерых.

Решение: пусть х- конфет осталось когда пришел шестой гость, тогда х+4 осталось когда пришел 5 гость. Так как по условию х+4 делится на 4, тогда и х делится на 4,но по условию х делится еще и на 5, значит, НОК равен 20. Если 20 поделить на 6 то в остатке останется 2, следовательно, Винни нужно съесть две конфеты.

Пример 6. Докажите что среди 18 идущих подряд трехзначных чисел найдется число, которое делится на свою сумму цифр.

Решение: среди подряд 18 идущих чисел найдется число N которое делится на сумму своих цифр. 18 =2*9, значит в трехзначном числе 9+9+9=27,  сумма цифр не должна превышать  27.  Например, число 999 не делится на сумму своих цифр так как оно нечетное. Число N делится на сумму своих цифр, когда их сумма составляет или 9 или 18.

Пример 7. Могут ли числа 1234567897 и 1234567892 быть квадратами каких-либо целых чисел?

Решение: данные числа не могут являться квадратами целых чисел из-за своих последних цифр 7 и 2. Дело в том, что при возведении в квадрат целого числа, последняя цифра может быть равной 1, 4, 9, 6, 5, 0.

Ученики 7 класса решают задачи на делимость, четность и нечетность более высокого уровня сложности.

Пример 8. Найдите все такие наборы целых чисел (a, b, c ), для которых (3a-b)(3b-c)(3c-a)=15015

Решение:(3a-b)(3b-c)(3c-a)=15015

15015=5*3*11*7*13

3*3*3 (a-b/3)(b-c/3)(c-a/3)=15015

3*3(a-b/3)(b-c/3)(c-a/3)=5005

(3a-b)(3b-c)(c-a/3)=5005

3*a-b, 3*a-c, 3*c-a- нечет.

Чет.-нечет.=нечет.

a,b,c-не могут быть четными

a,b,c -не могут быть нечетными, следовательно задача не имеет решения.

Пример 9.  Числа m и n целые. Какова четность числа mn(m+n)?

Решение: переберем все возможные варианты четностей для чисел m и n. Их четыре, но в силу перестановочности достаточно рассмотреть лишь три: 1) Ч^.Ч(Ч+Ч)=Ч^.Ч=Ч; 2) Ч^.Н(Ч+Н)=Ч^.Н=Ч; 3) Н^.Н(Н+Н)=Н^.Ч=Ч. Следовательно, во всех случаях получаем четное число.

Пример 10. доказать, что число 2¹⁷ + 7¹⁸ + 9¹⁹ делится на 10.

Решение: Рассмотрим равенство 2¹⁷  = 2^{4 .} 2^{4 .} 2^{4 .} 2^{4 .} 2. Число 2⁴ имеет последней цифрой 6 ( 2⁴ = 16 ). Тогда число 2^{4 .} 2^{4 .} 2^{4 .} 2⁴  также заканчивается цифрой 6. В итоге получаем, что число 2¹⁷ заканчивается цифрой 2. Число  7¹⁸ представим в виде 7^{4 .} 7^{4 .} 7^{4 .} 7^{4 .} 7² . Число 7⁴ заканчивается цифрой 1 (7⁴ = 2401), тогда число 7^{4 .} 7^{4 .} 7^{4 .} 7⁴ также заканчивается цифрой 1. И, умножив 1 на  7² , получаем, что последняя цифра в числе 7^{4 .} 7^{4 .} 7^{4 .} 7^{4 .} 7² будет 9. Найдем последнюю цифру числа  9¹⁹ . Из равенств 9¹⁹ = 9^{2 .} 9^{2 .} 9^{2 .} 9^{2 .} 9^{2 .} 9^{2 .} 9^{2 .} 9^{2 .} 9^{2 .} 9 и 9² = 81 следует, что последняя цифра числа  9¹⁹ будет 9. Теперь очевидно, что сумма трех чисел, одно из которых заканчивается на 2, а два других заканчиваются на 9, делится на 10, так как последняя цифра равна 0.

Семиклассники могут справиться с решением диофантовых уравнений первого порядка.

Пример 11. В аквариуме живут осьминоги и морские звёзды. У осьминогов по 8 ног, а у морских звёзд – по 5. Всего конечностей насчитывается 39. Сколько в аквариуме животных?

Решение: заметим, что количество животных не может выражаться нецелым или отрицательным числами. Следовательно, если х – целое неотрицательное число, то и у=(39 – 5х)/8 должно быть целым и неотрицательным, а, значит, нужно, чтобы выражение 39 – 5х без остатка делилось на 8. Простой перебор вариантов показывает, что это возможно только при х = 3, тогда у = 3.

Пример 12. Андрей работает летом в кафе. За каждый час ему платят 10 р. И высчитывают 2 р. за каждую разбитую тарелку. На прошедшей неделе он заработал 180 р. Определите, сколько часов он работал и сколько разбил тарелок, если известно, что он работает не более 3 ч в день.

Решение: пусть x часов он всего работал в неделю, тогда 10х р. ему заплатили, но он разбил y тарелок, и с него вычли 2у р. Имеем уравнение 10х – 2у =180, причем x меньше или равен 21. Получим: 5х-у=90, 5х=90+у.

5х-у=90

5х= 90+у

1) у=5k    90+5k

у=5 х=19;  у=10, х=20;  у=15, х=21

В 8,9 классе задачи усложняются введением в них уравнений высших степеней, арифметической и геометрической прогрессий.

Пример 12. Найти все натуральные n, при которых число n²+5n+16 делится нацело на 169.

Решение: если данное число n²+5n+16 = (n+9)(n-4)+52 делится на 169=13², то оно делится и на 13. Так как число 52 делится на 13, то и произведение (n+9)(n-4) также делится на 13. Поэтому хотя бы один из его сомножителей n+9 или n-4 делится на 13,  а так как (n+9) – (n-4) = 13, то сразу оба числа n+9 и n-4 делится на 13. Следовательно, их произведение делится на 169, а поскольку 52 не делится на 169, то сумма (n+9)(n-4)+52 не делится на 169. Итак, таких чисел нет.

Пример 13. Могут ли числа 2, 3, 5 быть членами одной геометрической прогрессии?

Решение: пусть q этой прогрессии, тогда 3 = 2qⁿ, 5 = 3q^m  для некоторых n, m. Тогда qⁿ = 3/2,  q^m = 5/3. Отсюда (3/2)^m = q^mn = (5/3)ⁿ , или 3^m / 2^m = 5ⁿ / 3ⁿ . Откуда 3^m+n = 2^{m .} 5ⁿ. Слева стоит нечетное число, а справа чётное, если только m  не равен 0. Следовательно m=0. Но это тоже невозможно, так как в этом случае было бы 5 = 3q^m = 3^. 1=3. Полученное противоречие показывает, что требования  3 = 2qⁿ, 5 = 3q^m  несовместимы. Следовательно числа 2, 3, 5 не могут быть членами одной геометрической прогрессии.

Пример 14. Улит­ка пол­зет от од­но­го де­ре­ва до дру­го­го. Каж­дый день она про­пол­за­ет на одно и то же рас­сто­я­ние боль­ше, чем в преды­ду­щий день. Из­вест­но, что за пер­вый и по­след­ний дни улит­ка про­полз­ла в общей слож­но­сти 10 мет­ров. Опре­де­ли­те, сколь­ко дней улит­ка по­тра­ти­ла на весь путь, если рас­сто­я­ние между де­ре­вья­ми равно 150 мет­рам.

Таким образом, систематическое решение задач на целые числа  повышает интерес учащихся к предмету, развивает умение разбираться в нестандартных ситуациях, способствует развитию логического мышления.

Литература.

1. Алфутова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. – М.:МЦНМО, 2002
2. Садовничий Ю.В. Математика. Задание 19. Решение задач и уравнений в целых числах – М.: Экзамен, 2017
3. Шаповалов А.В., Ященко И.В. Вертикальная математика для всех. Готовимся к задаче С: ЕГЭ с 6 класса – М.:МЦНМО, 2014