конспект урока Парадокс дней рождения
Впервые этой задачей занялся Рихард Мезисон ещё в 1939 году Утверждение гласит что если в классе больше 23 человек то их дни рождения, а именно день и месяц будет совпадать с вероятностью 50%.
Для 57 и более человек по принципу Дирихле вероятность совпадения превышает 99%, только тогда когда в группе не менее 367 человек, то есть на 1 больше чем дней в високосном году.
Это утверждение может показаться вам совсем не верным, так как вероятность совпадения у двух человек дней рождения равна 1/365=0.27%, если же в группе 23 человека это даёт вероятность в 1/365*23=6.3%,но такое утверждение считается неверным, ведь число возможных пар (23*22)/2=253. Это число значительно превышает число человек в группе. Следовательно утверждение не будет являться парадоксом логического противоречия в нём нет, у человека возникает парадокс лишь из-за интуитивного восприятия ситуации в результате математического расчёта.
Проведём детальные расчёты
В году 365 дней
В группе нет людей заведомо родившихся в один день
Рождаемость не зависит от дня недели, времени года и других факторов.
На самом деле это не совсем так в частности в некоторых странах из-за особенности работы больниц больше детей рождается в определённые дни недели. Если бы все люди рождались только в 3 дня из 365, то вероятность совпадения дней рождения была бы очень высокой.
Для начала рассчитаем – вероятность того что в группе из n человек дни рождения всех людей будут различны. По принципу Дирихле если возьмём наугад одного человека и запомним его день рождения. Затем возьмём второго человека, вероятность того что их дни рождения не будут совпадать с днём рождения первого равно 1-(1/365). Затем возьмём третьего человека и уже вероятность того что его день рождения не совпадёт с одним из первых двух, равно 1-(2/365). Если рассуждать по аналогии и дойти до последнего человека то вероятность несовпадения его дня рождения со всеми предыдущими будет равна
1-((n-1)/365)
Перемножая все это вероятности получаем вероятность того, что все дни рождения в группе будут различными 365!/(365n(365-n)!
Тогда вероятность того, что хотя бы у двух человек из n дни рождения совпадут, равна
Значение этой функции превосходит 1/2 при n=23, при этом вероятность этого равна 50.73%, а p(22) примерно равна 47.57%
N | P(n) |
10 | 12% |
20 | 41% |
30 | 70% |
50 | 97% |
100 | 99,99996 % |
200 | 99,9999999999999999999999999998 % |
367 | 100% |
Существует так же множество методов решения этой задачи, тут представлен основной
Выходные данные (библиографическая ссылка):
Зинюков Ю. В. Парадокс дней рождения // Международный каталог для учителей, преподавателей и студентов «Конспекты уроков» // URL: https://xn----dtbhtbbrhebfpirq0k.xn--p1ai/other/varia/file/104075-paradoks-dnej-rozhdeniya (дата обращения: 22.12.2024)
