Негізгі бөлім

Гипербола  және  оның  теңдеулері

Фокустар деп аталатын берілген екі F1 және F2 нүктелерінен қашықтықтарының  айырымы әрқашан тұрақты  шама 2а болатын нүктелердің геометриялық орындарын гипербола деп атаймыз.

Гиперболаның канондық теңдеуі мына түрде болады:

-  = 1.        (1)

мұндағы b2=c2-a2; a2=b2 болған жағдайда гипербола тең қабырғалы гипербола деп аталады.   F1(-C;0), F2(C;0) нүктелері (1) гиперболаның фокустары болып табылады.  e=c/а  саны гиперболаның эксцентриситеті деп аталады; гипербола үшін e>1.

Гиперболаны екі нақты нүктеде қиятын симметрия осін гиперболаның нақты осі деп атайды. Гиперболаның нақты осінде оның фокустары орналасады.Екінші ось гиперболаның жорамал осі деп аталады; бұл ось гиперболамен ортақ нақты нүктелер қабылдамайды.

Гиперболаның симметрия центрі оның центрі деп аталады. Гиперболаның осьтерінің қиылысу нүктесі  оның центрі болып табылады.

Координатаның бас нүктесінен бірдей d=a/е  арақашықтықта орналасатын және жорамал осіне параллель түзулер гиперболаның директрисалары деп аталады.

x=а/е түзулері (1) гиперболаның директрисалары болып табылады.

(1) гиперболаның асимптоталары мына теңдеулермен анықталады:

-  = 1 гиперболалары түйіндес деп аталады.

(x0,y0) нүктесіндегі гиперболаның жанамасының теңдеуі мына түрде болады:

Гипербола нүктелерінің фокусқа дейінгі арақашықтығының  фокуспен біржақты директрисаға дейінгі арақашықтыққа қатынасы оның эксцентриситетіне тең тұрақты шама болады.

Гиперболаның полярлық координаталардағы теңдеуі мына түрде болады:

, мұндағы p=; r, - нүктенің полярлық координаталары.

М (x,y) – гиперболаның бойындағы нүкте болсын. F1M және F2M кесінділері М нүктесінің фокальдық радиустары деп аталады. олардың ұзындықтары:

r1=|F1M|, r2=|F2M|.

Гиперболаның оң жақ тармағының нүктелері үшін (xa) r1=a+ex, r2= -a+ex және сол жақ тармағының нүктелері үшін

(x-a) r1= -a-ex, r2=a-ex.

Мысалдар.