Математика является одной из самых сложных дисциплин и вызывает трудности у многих школьников. Как показывают многочисленные психолого-педагогические исследования, если уровнять многие факторы, которые влияют на уровень усвоения новых знаний, новые знания всё равно будут усвоены по-разному.

Одним из возможных способов формирования ситуации успеха в учебной деятельности школьника является такая организация работы учителя, в которой учитываются индивидуальные особенности учеников. Наиболее оптимальный результат в данной ситуации даст технология дифференцированного обучения. Принцип дифференцированного образовательного процесса как нельзя лучше способствует осуществлению личностного развития учащихся и подтверждает сущность и цели общего среднего образования.

Цель дифференцированного обучения – обеспечить каждому ученику условия для максимального развития его способностей, удовлетворения его познавательных потребностей. Обучение каждого ребенка должно происходить на доступном для него уровне и в оптимальном для него темпе.

Принципы дифференцированного обучения включают самый важный элемент образования – создание психологически комфортных условий. Режим работы по данной технологии позволяет учителю работать со всеми учениками класса, не усредняя уровень знаний обучающихся, позволяя слабому ученику видеть перспективу успеха, а сильному иметь возможность творческого роста. Ученик становится субъектом процесса обучения, ему отводится активная роль.

Это достигается дифференциацией заданий по объему и сложности, а также путем реализации различных форм и методов организации деятельности учащихся на уроке, т.е. цель дифференцированного обучения – оказание психологической и методической помощи учащимся, чтобы они были успешными в учебной деятельности. Достоинство данного способа обучения состоит в том, что в некоторой степени решается проблема неуспеваемости, снимается психологический дискомфорт учеников, что позволяет снизить перегрузки, снимает беспокойство, формирует чувство собственного достоинства учащихся, повышает мотивацию обучения.

В качестве основного пути осуществления дифференциации обучения предлагается формирование групп. Деление на группы осуществляется, прежде всего, на основе критерия достижения уровня обязательной подготовки. Чаще всего выделяются три группы учащихся.

Учащиеся первой группы имеют пробелы в знаниях программного материала, самостоятельно могут сделать задания в один–два шага, выполнение более сложных заданий начинают со слепых проб, не умеют вести целенаправленный поиск пути выполнения упражнения. В этой группе могут быть учащиеся, имеющие пробелы в знаниях, вследствие частых пропусков уроков по болезни или в силу систематической плохой подготовки к урокам.

Учащиеся второй группы имеют достаточные знания программного материала, могут применить их при решении стандартных заданий, но затрудняются при переходе к выполнению упражнений нового типа; не справляются самостоятельно с решением сложных (нетиповых) заданий.

Третью группу составляют учащиеся, которые могут сводить сложное задание к цепочке простых действий, самостоятельно освоить новый материал, находить несколько способов для выполнения задания.

Знание уровня сформированности у школьников умений и навыков помогает учителю в подготовке к уроку, позволяет заранее спланировать все виды дифференцированных воздействий, подобрать соответствующие задания и продумать формы помощи для каждой группы учащихся, ориентируясь на зону ближайшего развития. Работа этих групп может проходить в рамках обычных уроков. Их можно также временно выделить для отдельных занятий.

Дифференцированный подход к учащимся стараюсь осуществлять на всех этапах урока.

Актуализация опорных знаний и умений

Сопутствующее повторение в начале темы готовлю с учётом уровня учебной успешности, регулируя его содержание, сдвигая по сложности к 3-му уровню, повышая качество повторения, т.е. ориентируясь не на базовый уровень, а на принцип высокого уровня обучения.

Разминки – это приём фронтальной работы, вовлекающий в деятельность весь класс, развивает быстроту реакции, умение слушать и слышать вопрос, чётко и конкретно мыслить. Интересно, что в этом случае работают даже те дети, которые обычно молчат, поскольку интеллектуально пассивны или стесняются публичных ответов. В своей практике стараюсь применять различные виды разминок.

Буквенный диктант. Его можно использовать перед объяснением новой темы. Не учитель называет тему, а ученики. Смысл диктанта в следующем: учащиеся устно отвечают на вопрос, а записывают лишь первую букву ответа. Затем из выделенных слов учащиеся составляют слово.

Например, для 5 класса:

Т – цирковая кличка собаки Каштанки (тётка).

Р – полевой цветок народный для гадания пригодный (ромашка).

О – время года, когда листья становятся разноцветными (осень).

З – свет мой … скажи, да всю правду расскажи (зеркальце).

Е – самая плохая оценка – 7 букв (единица).

К – и от дедушки ушёл, и от бабушки ушёл (колобок).

О – металл, из которого сделан стойкий солдатик (олово).

Из первых букв составляем слово – анаграмму – ОТРЕЗОК.

Числовой диктант. При использовании этого приёма дети вспоминают два понятия, пытаются сохранить их в памяти, а затем по заданию учителя совершают между ними какое-либо действие и ответ записывают в тетрадь. Чем он интересен? Во-первых, устный счёт сам по себе полезен на уроках математики. Во-вторых, я не просто даю возможность считать, а подсчитывать вещи (понятия, величины, …), знание которых входит в базовый минимум школьной программы не только по данному предмету, т.е. я пытаюсь расширить кругозор детей. В-третьих, давая аналогичное задание для самостоятельного конструирования, я ненавязчиво заставляю учеников ещё раз прочитать текст учебника, поскольку без этого они не смогут выполнить предлагаемую работу, а она для них интересна.

Например, для учеников 7 класса:

• Сумму смежных углов разделите на количество сторон квадрата.
• Возведите в квадрат количество букв в названии математического предложения, которое принимается без доказательства.
• Количество материков умножьте на количество океанов.
• Количество признаков равенства треугольников умножьте на порядковый номер ноты «ля» в октаве.
• Найдите сумму цифр года Полтавской битвы.
• К количеству букв в слове, которое обозначает немилость, наказание, прибавьте 2 % от 550 (опала – 5 букв, 5 + 11 = 16).

Цифровой диктант – этот приём, пришедший к нам из программированного обучения, где основой является идея о постоянной обратной связи, очень эффективно используется для быстрой фронтальной проверки усвоения и закрепления знаний. Учитель произносит некоторое утверждение и, если ученик согласен, то он ставит единицу (1), если нет – нуль (0). В результате получается число.

Например, в 5 классе по теме «Решение уравнений»:

• Уравнение – это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти – (1).
• Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо к сумме прибавить известное слагаемое – (0).
• Решить уравнение – значит найти все его корни или убедиться, что корней нет – (1).
• 100 : 4 = 20 – (0).
• Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое – (1).
• Корнем уравнения называется значение переменной, при котором из уравнения получается верное числовое равенство – (1).
• 120 больше 60 на 2 – (0).

Ответ: 1010110.

Графический диктант. Отличается от цифрового тем, что вместо единицы и нуля рисуются геометрические фигуры: ^ и -. Подобные диктанты с большим удовольствием составляют сами учащиеся.

Закрепление нового материала

В работе с учащимися 3-ей группы учебной успешности творческие задания занимают ведущее место, а 1-я и 2-я группы выполняют репродуктивно-творческие задания.

Например, по теме «Простые и составные числа» (6 класс) для учащихся 3-ей группы предлагаю следующие задания:

• Докажите, что простых чисел бесконечно множество.
• Придумайте сами какую-нибудь формулу простых чисел.
• Запишите все натуральные числа, меньшие 200, каждое из которых распадается только на три различных множителя.
• Докажите, что число, записанное шестью одинаковыми цифрами, делится на простые числа 3, 7, 11, 13 и 37.
• Может ли сумма трёх последовательных чисел быть простым числом? Ответ обоснуйте.
• Найдите сумму всех трёхзначных чисел, каждое из которых является произведением четырёх различных простых чисел.
• Два двузначных числа получаются друг из друга перестановкой цифр, а их разность – полный квадрат. Какие это числа?

Для учащихся 2-ой группы:

• Не выполняя вычислений, установите, простым или составным будет число 2 • 3 • 5 – 2. Ответ обоснуйте.
• Найдётся ли прямоугольник, стороны которого выражены натуральными числами, а периметр есть простое число?

Для учащихся 1-ой группы:

• Исключите лишнее слово: три, сорок, два.
• Если число оканчивается нулём, то какие простые делители оно обязательно будет иметь?

Или, например, весь класс решает задачу до определённого момента или дано условие задачи (общее для всех групп), а далее предлагается несколько вопросов разной степени сложности. Последний этап решения задачи выполняется в условиях глубокой дифференциации.

Для учащихся, обладающих большой работоспособностью, даются задачи с несколькими условиями, задания исследовательского характера, задания с применением классификации. Например: выписать уравнения, решаемые только графическим способом, и решить их, а затем решить остальные уравнения:

• 3^2х= 5^{1 – х};
• 5^х= 3 + 2^х;
• 2^{х – 3}= 0,25^1-х;
• 4^х– 5^2х– 24 = 0;
• 7^{х2- 16х – 55}= 1.

Для школьников, медленно работающих, ограничиваю число заданий, но их количество с каждым уроком увеличивается. Им я предлагаю:

Задания с выбором правильного решения. Такие задания содержат пример или задачи и варианты ответов. Учащийся выбирает тот ответ, который, по его мнению, соответствует данному заданию, т.е. опознаёт правильное решение.

Например: даны пресекающиеся прямые а и с. Точки А и А₁ лежат на прямой а, точки С и С₁ – на прямой с. Как расположены прямы АС и А₁С₁? Варианты ответов: 1) параллельны; 2) пересекаются; 3) скрещиваются.

Задания с выполнением некоторой их части.

Например, решить уравнение 4^{х + 1,5} – 2^х = 1.

Решение:

• Преобразуем выражение 4^{х + 1,5}—> 4^{х + 1,5}= 2^{2(х + 1,5)} = 2^{2х + 3} = 2^2х 2³ = 8 • 2^2х.
• Получаем уравнение 8 • 2^2х– 2^2х– 1 = 0. Это показательное уравнение сводится к квадратному с помощью введения вспомогательного неизвестного.

3. Закончите решение _______.

Задания с алгоритмическими предписаниями.

Например, решить уравнение х³ = 3х(х – 8) = 2х(3 – х + 0,5х²) = 1.

Алгоритм выполнения:

• Раскрыть скобки.
• Перенести члены из правой части в левую и привести подобны слагаемые.
• Найти дискриминант уравнения.
• По формуле корней квадратного уравнения вычислить его корни.

Задания с сопутствующими указаниями, инструкциями.

Например, найти производную сложной функции у = (2х – 1)³.

План решения:

• Ввести обозначение 2х – 1 = и, тогда у = и³.
• Найти производную f ^' (и) = (и³) ^'.
• Найти производную ф' (х) = (2х – 1) ^'.
• Найти производную сложной функции по формуле у ^'= f ^'(и) • ф ^' (х).

Задания с образцом выполнения.

Например, решить уравнение 2^2х – 5 • 2^х – 24 = 0 по следующему образцу.

Образец решения уравнения 3^2х – 10 • 3^х + 9 = 0:

• Положим 3^х= у, тогда 3^2х= (3^х)² = у².
• Получим уравнение у²– 10у + 9 = 0.
• Найдём корни у₁= 1, у₂= 9.
• Имеем два показательных уравнения: 3^х= 1; 3^х= 9.

5. Решим показательные уравнения: 3^х = 1          3^х = 9

                                                   3^х =3⁰             3^х = 3²

                                                   х = 0           х = 2

6. Ответ: х = 0; х = 2.

Контроль знаний и умений

Контрольная работа рассчитана в целом на 1-ый уровень учебной успешности. Предлагаю учащимся как традиционную форму контрольной работы – задания все напечатаны на карточках (или спроецированы на экран), так и нетрадиционную – в форме устной контрольной работы.

Например, по теме «Квадратные уравнения» (8 класс) предлагаю следующие варианты контрольной работы:

Вариант 1 (для 1-го уровня):

• Решите уравнения: а) 1 – 4у²= 0; б) х²= 3х; в) х² – 4х + 3 = 0.
• Найдите катеты прямоугольного треугольника, если их сумма равна 46 см, а гипотенуза треугольника 34 см.
• Один из корней уравнения квадратного уравнения 9х²– 20х – 21 = 0 равен 3. Найдите второй корень этого уравнения.

Вариант 2 (для 2-го уровня):

• Решите уравнения: а) 6у – у²= 0; б) х²– 6х + 5 = 0; в) 3х² – 4 = 0.
• Сумма кубов двух натуральных чисел равна 1547. Найдите эти числа, если их сумма равна 17.
• При каком значении параметра а один из корней уравнения 3х²– ах + 6 = 0 равен – 2?

Вариант 3 (для 3-го уровня):

• Решите уравнения: а) 1,4а²– 4,2 = 0; б) 5х²+ 8х – 4 = 0; в) 2х² – х + 3 = 0.
• Разность кубов двух натуральных чисел равна 1603. Найдите эти числа, если их разность равна 7.
• Пусть х₁и х₂– корни уравнения х² + 7х – 11 = 0. Не решая уравнения: а) найдите значение выражения: х₁² + х₂²; (х₁ – х₂)²; х₁³ + х₂³; б) запишите квадратное уравнение, корнями которого были бы эти числа.

При проведении зачёта школьники 3-го уровня учебной успешности освобождаются от зачёта. Вместо него проводится творческое собеседование. Учащиеся 2-го уровня, объединившись в группу, коллективно защищают проект. Зачёт сдают школьники, относящиеся к 1-му уровню, перед ним проводится ряд консультаций. Особое внимание обращается на ребят, пропустивших занятия.

Домашнее задание

Первой группе на дом предлагаются задания, точно соответствующие обязательным результатам. Второй группе – более сложные задания из учебника. Для третьей группы – задания из различных пособий. При определении объема работы следует исходить из средней нормы времени, затрачиваемого на приготовление задания, дня недели, загруженность школьников другими предметами.

Детей 3-ей группы учу работать с дополнительной литературой, выполнять дополнительные задания творческого характера, а также проводить небольшие исследования. Они часто выступают с дополнительными сообщениями, докладами. Средним и слабым ученикам тоже предлагаю выступить, но для подготовки даю литературу или указываю источник. Для преодоления пробелов в знаниях детям 1 и 2 групп предлагаю небольшие дополнительные упражнения.

Такие элементы дифференцированного подхода активизируют стремление детей к знаниям. Ученики чувствуют себя ответственными за процесс обучения, приучаются к самоорганизации учебного труда. Дифференцированная форма учебной деятельности учащихся предусматривает их самостоятельную работу по дифференцированным заданиям. Дифференцированное задание должно быть построено с учетом особенностей группы учащихся, объединенной «одинаковым» уровнем знаний и умений по теме, разделу и уровнем их освоения.

В соответствии с группами при организации дифференцированных форм учебной деятельности разрабатываю варианты дифференцированных заданий. При этом можно использовать два вида дифференцированной формы учебной деятельности: групповую дифференцированную и индивидуальную дифференцированную работу учащихся. В первом случае учащиеся одной группы выполняют свое дифференцированное задание коллективно (по 3–4 человека), во втором – индивидуально. При групповой форме деятельности на уроке организуется отчет каждой группы, а при индивидуальной форме проверяется и оценивается работа каждого ученика

Применение дифференцированного обучения на уроках математики помогает учителю достичь следующих целей:

Для первой группы:

• пробудить интерес к предмету путем использования заданий базового уровня, позволяющих работать в соответствии с их индивидуальными особенностями;
• ликвидировать пробелы в знаниях и умениях;
• сформировать умения осуществлять самостоятельную деятельность по образцу.

Для второй группы:

• развивать устойчивый интерес к предмету;
• закрепить и повторить имеющиеся знания и способы действия;
• актуализировать имеющиеся знания для успешного изучения нового материала;
• сформировать умения самостоятельно работать над заданием;
• развивать интеллектуальные умений учащихся.

Для третьей группы:

• развивать обобщенный интерес к предмету;
• сформировать новые способы действия, умения выполнять задания повышенной сложности.

Таким образом, дифференцированное обучение – наиболее трудный вид работы, который требует от учителя вдумчивой, кропотливой работы, творческой подготовки к урокам, хорошего знания своих учеников. Этот метод обучения требует последовательности и систематизации. Только на основе этих факторов можно добиться положительных результатов в усвоении программного материала, достигнуть высокой эффективности работы над формированием познавательной деятельности учащихся с различными индивидуальными возможностями, развитие их творческой активности и самостоятельности.